Пікірлер импликациясы және эквиваленциясы

Кез келген ойтұжырым “шығады”, “осы ойдан туады”, “осыдан шығады”, “егер ..., онда” деген сөздерсіз құрылмайды. Мынадай екі сөйлемді қарастырайық: А: “ саны 4 – ке еселі”, В: “ саны 2 – ге еселі”. Бұл сөйлемдер бір – бірімен өзара байланысты: 4 – ке еселі кез келген сан 2 – ге де еселі болады, немесе, басқаша айтсақ, санның 4 – ке еселі болғандығынан, оның 2 – ге еселі екендігі шығады немесе, егер сан 4 – ке еселі болса, онда 2 – ге еселі болады. Егер осы байламдық сөздерді екі пікір үшін қолдансақ, онда логикалық формасы “егер А, онда В”, “А – дан В шығады” түріндегі күрделі пікір болады.

“Егер А, онда В” түріндегі пікір А мен В пікірлерінің импликациясы деп аталады.

А және В пікірлерінің импликациясын деп белгілеп, оны “егер А, онда В” деп оқиды. А пікірі импликацияның шарты, ал В пікірі оның қорытындысы деп аталады.

Импликацияның әдеттегі қолданылуы математикалық логикадағы қолданылуынан өзгеше. Әдеттегі сөйлемде біз импликация шарты мен қорытындысының арасында қандай да бір мағына немесе логикалық байланыс бар деп түсінеміз.

Алайда, қандай да бір мазмұнды мағына беру қиын болатын импликацияларда кездеседі. Мысалы, А – “бүгін қар жауып тұр”, В – “108 саны 3 – ке бөлінеді” болса, импликациясы былай оқылады: “Егер бүгін қар жауып тұрса, онда 108 саны 3 – ке бөлінеді”.

Логикада импликацияның ақиқаттығы немесе жалғандығы оның шарттарының және қорытындыларының ақиқаттығына немесе жалғандығына байланысты болады деп келісілген.

импликациясы А ақиқат, В жалған болған жағдайдан ғана жалған, ал басқа жағдайлардың барлығында да ақиқат болатын күрделі пікір, осы анықтама бойынша импликацияның ақиқаттық кестесі мына түре болады:

А В
а а а
а ж ж
ж а а
ж ж а

Импликацияның ақиқаттығы мен жалғандығы туралы қабылданған келісім көп жағдайда ыңғайлы және математикада кеңінен қолданылады. “Егер 9 саны 3 – ке еселі болса, онда 81 саны да 3 – ке еселі” пікірінің ақиқаттық мәнін табайық. Мұндағы А – “9 саны 3 – ке еселі” – ақиқат пікірі, В – “81 саны 3 – ке еселі” – ақиқат пікір, олай болса, импликациясы да ақиқат болады. Сонымен қатар бұл импликация тек қана “егер 9 саны еселі болса, онда саны 3 – ке еселі болмайды” деген жағдайда ғана жалған болады. Барлық басқа жағдайларда бұл импликация ақиқат болады.



“Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ға еселі” болады деген импликацияны қарастырайық. А – “108 саны 5 – ке еселі” деген пікір импликацияның шарты, В – “108 саны 9 – ға еселі” деген пікір оның қорытындысы. Берілген импликацияның А – шарты жалған, ал В қорытындысы ақиқат. Сондықтан, “Егер 108 саны 5 – ке еселі болса, онда ол 9 – ға еселі болады” импликациясы ақиқат болады.

“Егер болса, онда ” импликациясы жалған, өйткені оның шарты “ ” ақиқат, ал қорытындысы “ ” жалған.

“Егер , онда ” импликациясы ақиқат, себебі оның шарты да “ ”, қорытындысы да “ ” жалған.

Конъюнкциясы, дизъюнкция, теріске шығару импликация операцияларын пайдаланып әртүрлі күрделі пікірлер құруға және олардың ақиқаттығын анықтауға болады. Мысалы:

тағы сол сияқты.

А және В пікірлерінің импликациясы берілген болсын. Оның шарты мен қорытындысының орындарын ауыстырсақ , импликациясын аламыз. Оны берілген импликациясына кері импликация деп атайды. Мысалы, “Егер сіздің жасыңыз 16 – дан үлкен болса, онда сіздің төлқұжатыңыз бар” деген импликация берілген болса, онда оған кері импликация: “Егер сіздің төлқұжатыңыз бар болса, онда сіздің жасыңыз 16 – дан үлкен” түрінде болады.



Өзара кері екі және импликацияларының конъюнкциясын, яғни түріндегі пікірді қарастырып, осы пікірдің ақиқаттық кестесін құрайық. Ол үшін А мен В элементар пікірлерінің барлық мүмкін мәндерін жазамыз (1, 2 – баған).

А В
а а а а а
а ж ж а ж
ж а а ж ж
ж ж а а а

, пікірлерінің мәні импликацияның анықтамасы бойынша анықталады (3, 4 – баған). , импликацияларын жеке пікірлер деп, олардың конъюнкциясы анықталады (5 – баған). Кестеден пікірі тек А мен В пікірлерінің екеуі де ақиқат немесе екеуі де жалған болған жағдайларда ақиқат болатынын көреміз. Қалған жағдайлардың барлығынада бұл пікір жалған. пікірін А , пікірлерінің мәні импликацияның анықтамасы бойынша анықталады (3, 4 – баған). , импликацияларын жеке пікірлер деп, олардың конъюнкциясы анықталады (5 – баған). Кестеден пікірі тек А мен В пікірлерінің екеуі де ақиқат немесе екеуі де жалған болған жағдайларда ақиқат болатынын көреміз. Қалған жағдайлардың барлығынада бұл пікір жалған. пікірін А және В пікірлерінің эквиваленциясы деп атайды және оны түрінде белгілейді. жазылуы “В болғанда және тек сонда ғана А болады” деп оқылады. Сонымен, эквиваленциясы А және В пікірлерінің екеуі де ақиқат немесе екеуі де жалған болғанда ғана ақиқат болады.

Мысал, А пікірі: “297 саны 3 – ке еселі” В пікірі: “297 санының цифрларының қосындысы 3 – ке бөлінеді” болатын болса, онда берілген А мен В пікірлерінің эквиваленциясы былайша оқылады: “297 саны 3 – ке еселі болғанда және тек сонда ғана оның цифрларының қосындысы 3 – ке бөлінеді”. Бұл эквиваленция ақиқат, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де ақиқат.

“128+236=364 сонда және тек сонда ғана, 128=236” жалған пікір.

Математикада құрамында бір немесе бірнеше айнымалысы бар сөйлемдер көп кездеседі. Мысалы, саны 5-ке еселі, тағы сол сияқты. Бұл сөйлемдердің ақиқат немесе жалған екендігі туралы ешнәрсе айта алмаймыз, сондықтан олар пікір бола алмайды. Егер сөйлемдегі айнымалының орнына белгілі бір мән қойсақ, ол пікірге айналып, оның ақиқаттық мәнін анықтауға болады. сөйлемдегі –тің орнына мәнін қойсақ түріндегі ақиқат пікір аламыз, ал болса, сөйлем түрінде болып, ол жалған пікір болады.

“ саны 5 – ке еселі” деген сөйлем де –тің кез келген натурал мәнінде пікір болады. Егер –тің орнына 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ... тағы сол сияқты нолмен 5 – ке аяқталатын сандар қойсақ, онда бұл пікір ақиқат болады, ал –тің басқа мәндерінде ол жалған.

теңдеуінде екі айнымалы бар. Ол айнымалылардың орнына сандардың қосын қойғанда ғана пікірге айналады. Мысалы, егер , болса, ақиқат пікір аламыз, ал , болса, жалған пікір шығады.

Бір немесе бірнеше айнымалысы бар және олардың нақтылы мәндерінде пікірге айналатын сөйлем пікірлік форма немесе предикат деп аталады.

Предикатқа енетін айнымалының санына қарай бір орынды, екі орынды, үш орынды тағы сол сияқты предикаттар анықталады. “ саны 5 – ке еселі” деген предикаттар бір орынды, ал екі орынды предикат болады.

Осы предикаттардың әрқайсысында біз екі жиынды байланыстырамыз. Оның біріншісі – айнымалының мәндері алынып, предикатты пікірге айналдыратын жиын. Екіншісі – айнымалының орнына қойғанда сөйлемдерді ақиқат пікірлерге айналдыратын мәндер жиыны. Мысалы, предикатында ақиқаттық мәндер жиыны болады.

Бірінші жиынды предикаттың анықталу жиыны, ал екіншісін оның ақиқаттық жиыны деп атайды.

Сонымен, қандай да бір предикат берілген болса, онда ол мына екі жиынды байланыстырады:

1.Анықталу жиыны – айнымалының предикатты пікірге айналыратын барлық мәндерінің жиыны;

2.Ақиқаттық жиыны – айнымалының предикатты ақиқат пікірге айналдырытын мәндерінен тұратын жиын.

Бұл анықтамалардан екені белгілі.

Мысалы, “ саны 5 – ке еселі” деген предикаттың анықталу облысы барлық натурал сандар жиыны, ал ақиқаттық жиыны болып 0 – мен 5 – ке аяқталатын барлық натурал сандар жиыны болады, яғни .

Бір орынды предикатты түрінде белгілейді, мұндағы . жазылуы “ жиынында –тің предикаты берілген” деп оқылады. Егер –тің орнына жиынының кез келген бір элементін қойсақ, деген пікірді аламыз.

Предикат ұғымын өзімізге белгілі бір айнымалысы бар теңдеу, бір айнымалысы бар теңсіздік, екі айнымалысы бар теңдеу, екі айнымалысы бар теңсіздік тағы сол сияқты ұғымдардың жалпы түрі деп қарауға болады.

Пікірлер сияқты предикаттар да элементар және күрделі болады. Күрделі предикаттар элементар предикаттарға “және”, “немесе”, “емес” логикалық байламдарын қолдану арқылы алынады.


7095596088569104.html
7095633805658595.html
    PR.RU™